一个函数具有对称性

1）如果一函数关于轴x=T（T为常数）对称，则有f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。

这个用解析几何来或者用代数来解释都很简单，也可以当作是证明。

一函数关于轴x=T（T为常数）对称，就是说作直线y=Y（Y为f(x)值域内任意常数），与f（x）相交两点A（a，Y）和B（b，Y），与x=T相交于C（T，Y），则C为AB的中点。

可得a=2T-b，或者a+T=T-x。

由直线y=Y在f(x)值域内的任意性，可知f（x）=f（2T-x）或者f(x+T)=f(T-x)。

一函数关于轴x=T（T为常数）对称，取任意一点P（x，f（x）），函数上必存在与其关于x=T的对称的点Q（q，f（q）），即点（T，f（x））为PQ的中点。用中点公式可得q=2T-x，f(q)=f(x)，即f（x）=f（2T-x）。由P点的任意性可知该式在定义区成立。

类似的取P（x+T，f（x+T）），同样道理可证明f(x+T)=f(T-x)。

2）若一函数f（x）关于点O（a，b）中心对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b或者f（a+x）+f(a-x)=2b。

任取P（x，f（x）），则必定可以在f（x）上找到点Q（q，f（q））且O（a，b）为PQ的中点。

q+x=2a 且f（q）+f（x）=2b，用x表示q，可得f（x）+f（2a-x）=2b。

类似设这个人任意点为P（x+a，f（x+a）），同样方法可得f（a+x）+f(a-x)=2b。

解析几何的方法和代数的方法其实是同一个本质，只是两种不同的叙述方法，只要理解透彻定义，加上一点代数的技巧或解析几何的直观，这类问题是很容易理解和证明的。

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