非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里德几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
简述皮亚杰的儿童概念发展的六阶段？
（1）感知运动阶段（0～2岁）
这一阶段的儿童只能依靠自己的肌肉动作和感觉应付外界事物。这一阶段又再分为6个小阶段：
①从出生到1个月。此时，婴儿尚不能觉察周围的东西，甚至不能觉察自己的存在，分不清物与我，缺乏自我意识。
②1～4个月。这时，婴儿的动作变得较协调了，但还不能摆弄外物。
③4～10个月。此时，婴儿视觉与抓握动作协调起来。开始会摆弄身旁的东西。9～10个月的婴儿知道东西离开了自己的视野仍然存在。
④10～12个月。此时，行为已有目的，开始能预料行为的效果。
⑤12～18个月。婴儿对不同的物体，会作略为不同的动作，看会出现什么结果。
⑥18～24个月。婴儿在行动之前，能在头脑中思考动作，寻找解决问题的新方法。
（2）前运算阶段（2～7岁）
这一时期的幼儿只能以表象进行思维，他们的思维是表面的、原始的和混乱的。前运算阶段又可分为两个时期：
①前概念期，约2～4岁。此期以出现符号功能和模仿为特点。
②直觉思维期，约4～7岁。幼儿主要对事物的表面现象作出反映，只会从一特殊情况推到另一特殊情况，并将无关的事情说成有因果关系。自我中心思想是这一阶段的突出特点。
（3）具体运算阶段（7～11岁）
在这一阶段，儿童形成了初步的运算结构，出现了逻辑思维。但思维还直接与具体事物相联系，离不开具体经验，还缺乏概括的能力，抽象推理尚未发展，不能进行命题运算。这一阶段儿童发展了“去中心化”，即只站在自己角度看问题的自我中心思想逐渐消失。此时儿童不仅能集中注意情况或问题的一个方面，还能注意几个方面；不仅能注意事物的静止状态，还能看到动态的转变；还能逆转思维的方向。
（4）形式运算阶段（11～15岁）
这一阶段，个体形成了完整的认知结构系统，能进行形式命题思维，智力发展趋于成熟。皮亚杰起初认为形式运算的智力发展约在15岁完成。